Почему в октаве 12 звуков

Если вы уже встречали ноты, то наверняка замечали несостыковку: названий нот всего семь — до, ре, ми, фа, соль, ля, си, — а клавиш между двумя одинаковыми нотами на фортепиано двенадцать. Откуда взялись ещё пять и почему их именно двенадцать, а не десять или двадцать? Короткий ответ: современная музыка пользуется равномерно темперированным строем — договорённостью делить октаву на 12 равных полутонов. Разберёмся, как устроено это деление, почему при нём выравниваются интервалы, а не герцы, и почему до-диез и ре-бемоль — один и тот же звук.

Что такое октава

Октава — это интервал между двумя звуками, у которых частота отличается ровно в два раза. Например, Ля первой октавы — это 440 Гц, а Ля второй октавы — 880 Гц. На слух это «та же нота», только выше: два таких звука настолько сливаются, что в музыке они считаются повторением друг друга. Название идёт от латинского octava — «восьмая»: в звукоряде до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до первое «до» — первая ступень, а следующее «до» — восьмая.

Если вы ещё только знакомитесь с нотами, октавами и нотным станом, начните с основной статьи «Как выучить ноты с нуля» — там есть интерактивный нотный стан и таблица частот всех 88 клавиш фортепиано. Здесь же нас интересует один вопрос: как именно октава делится на звуки внутри.

Равномерная темперация: 12 равных полутонов

Строй, которым пользуется практически вся современная музыка — от классики до поп-музыки, — называется равномерно темперированным строем, или равномерной темперацией. Его правило умещается в одну фразу: октава делится на 12 равных полутонов.

«Равный» здесь означает равный по соотношению частот. Каждый следующий полутон выше предыдущего ровно в одно и то же число раз. Что это за число? Октава — это удвоение частоты (умножение на 2), и это удвоение нужно набрать за 12 одинаковых шагов. Значит, каждый шаг умножает частоту на корень двенадцатой степени из двух:

полутон = 2^1/12 ≈ 1,0595

Что означает эта формула

Разберём формулу по частям — в ней три элемента, и у каждого своя роль.

Основание 2 — октава. Подъём на октаву удваивает частоту: Ля 440 Гц → Ля следующей октавы 880 Гц, и слух воспринимает это как «ту же ноту выше» (подробнее — в разделе «Что такое октава»). Поэтому в формуле и стоит двойка: это удвоение нужно «набрать» за шаги внутри октавы.
Степень 1/12 — деление. Октава делится на 12 равных полутонов — 7 белых и 5 чёрных клавиш. Нужен множитель, который, применённый 12 раз подряд, даёт 2, — это корень 12-й степени из 2: число, которое, умноженное само на себя 12 раз, равно 2.
Число 1,0595. Это и есть значение этого корня: каждый следующий полутон выше предыдущего примерно на 5,95%, то есть приблизительно на 6%.

Проверка на практике. От Ля 440 Гц один полутон вверх даёт Ля-диез ≈ 466,16 Гц, ещё один — Си ≈ 493,88 Гц, ещё один — До ≈ 523,25 Гц (та же точность — два знака — что в таблице частот статьи «Как выучить ноты с нуля»). А 12 умножений подряд возвращают к удвоению: 440 × (2^1/12)¹² = 440 × 2 = 880 Гц.

Точный множитель. 1,0595 — округлённая запись корня 12-й степени из 2; точное значение ≈ 1,059463. Считаем через него: 440 × 1,059463 ≈ 466,16; 466,16 × 1,059463 ≈ 493,88; 493,88 × 1,059463 ≈ 523,25. С округлённым 1,0595 получилось бы 466,18 / 493,92 / 523,31 — уже расходится с таблицей частот, поэтому в примерах ниже используется точный множитель, а 1,0595 остаётся короткой записью формулы для запоминания.

Зачем понадобился такой строй и почему его называют гениальным компромиссом — разбираем в разделе «Зачем нужны именно 12 звуков».

Именно на это число — примерно 1,06 — умножается частота при каждом переходе на полутон вверх, и на него же делится при переходе вниз. Посмотрим на числах, двигаясь от Ля первой октавы (440 Гц) по полутонам вверх:

Ля (A4): 440 Гц — точка отсчёта;
Ля-диез / Си-бемоль (A#4): 440 × 1,059463 ≈ 466,16 Гц — один полутон вверх;
Си (B4): 466,16 × 1,059463 ≈ 493,88 Гц — ещё один полутон;
До (C5): 493,88 × 1,059463 ≈ 523,25 Гц — и так далее.

А если сделать все 12 шагов подряд, получится ровно удвоение: 440 × (2^1/12)¹² = 440 × 2 = 880 Гц — Ля второй октавы. (С округлённым 1,0595 равенство не сошлось бы: 1,0595¹² ≈ 2,0007, и получилось бы ≈ 880,4 Гц.) Двенадцать одинаковых умножений в точности складываются в одну октаву. Именно в этом смысле все полутоны «равны»: каждый из них — одно и то же соотношение частот, и на слух все шаги ощущаются одинаково «по расстоянию».

Откуда берётся сама точка отсчёта, Ля = 440 Гц, и как по формуле считается частота любой ноты — читайте в статье «Что такое камертон и почему 440 Гц».

Почему герцы не выравниваются

Тут легко запутаться, и это самое частое место ошибки. Если полутоны равные, почему разница в герцах между соседними звуками везде разная? Считаем: между Ля (440 Гц) и Ля-диезом (466,16 Гц) — примерно 26,16 герца, а между До (261,63 Гц) и До-диезом (277,18 Гц) — всего около 15,55 герца. Шаги явно не одинаковые в герцах — и при этом на слух оба шага ощущаются как один и тот же полутон.

Всё дело в том, что ухо оценивает высоту звука не по разнице частот, а по их отношению: шкала высоты — логарифмическая. Полутон всегда равен одному и тому же отношению (×1,0595), но в герцах это отношение выглядит по-разному. Как проценты: 5,95% от 440 — это 26,16, а 5,95% от 261,63 — только 15,55. Процент один и тот же, а «в рублях» — разные суммы.

Поэтому точная формулировка такая: в равномерной темперации выравниваются интервалы (отношения частот между соседними ступенями), а не герцы. С каждым шагом на октаву вверх все промежутки в герцах становятся вдвое шире, но на слух строй остаётся тем же самым. «Герцы не выравниваются — выравниваются интервалы»: если держать в голове эту фразу, половина недоразумений про музыкальный строй отпадает сама собой.

Откуда взялись 7 нот и 12 звуков

Семь основных ступеней — до, ре, ми, фа, соль, ля, си — это каркас, на котором держится вся нотная запись. Расстояния между соседними ступенями в этом каркасе неодинаковые: между ми и фа, а также между си и до — полутон, между всеми остальными соседями — целый тон, то есть два полутона. На клавиатуре это видно сразу: белые клавиши — семь основных ступеней, а чёрные клавиши стоят не между каждой парой белых, а только там, где расстояние в целый тон. Между ми и фа и между си и до чёрной клавиши нет — там и так полутон.

Чёрных клавиш пять — это и есть пять производных звуков. Отдельных названий им не придумали: их называют через соседние ступени со знаками альтерации — диез (♯) и бемоль (♭). Диез повышает ступень на полутон, бемоль понижает на полутон. До-диез — это «до, повышенное на полутон», ре-бемоль — «ре, пониженное на полутон». Диезы и бемоли — это не новые ноты, а изменённые варианты семи основных.

Складываем: 7 основных ступеней + 5 производных = 12 звуков в октаве. Поэтому правильно говорить «7 нот, 12 звуков»: нот-названий (ступеней) в звукоряде семь, а разных звуков в октаве двенадцать.

Зачем нужны именно 12 звуков

Главная выгода равномерной темперации: можно играть в любой тональности без перенастройки инструмента. Звучит абстрактно, поэтому разберём на примере. На фортепиано расстояния между клавишами зафиксированы раз и навсегда. Мелодию, сочинённую в до мажоре, можно сыграть от любой другой клавиши — и она узнается, просто зазвучит выше или ниже. Если бы расстояния между звуками зависели от тональности, для каждой тональности понадобился бы отдельно настроенный инструмент.

Почему это вообще было проблемой? В старых строях — и тут небольшая историческая справка — интервалы настраивали по «красивым» дробным отношениям частот. Пифагорейский строй строился по чистым квинтам (отношение 3:2), чистый строй добавлял к ним чистые терции (5:4). Всё звучит идеально — но только пока не отходишь далеко от исходной тональности. Двенадцать квинт не складываются ровно в семь октав: (3/2)¹² ≈ 129,75, а 2⁷ = 128. Крошечная разница — пифагорова комма — накапливается, и где-нибудь в круге тональностей обязательно появляется фальшивая «волчья квинта». Чем дальше тональность от исходной, тем хуже она звучит.

Музыканты веками искали компромисс: в XVI–XVII веках появились среднетоновые строи, в начале XVIII века — «хорошо темперированные» строи, в которых играбельны все 24 тональности (именно для такого строя Бах написал «Хорошо темперированный клавир»). Идея разделить октаву на 12 строго равных полутонов известна с XVI века — её описал китайский теоретик Чжу Цзайюй в 1584 году, а в Европе независимо вычислил Симон Стевин, — но общепринятой она стала только к XVIII–XIX векам. Инструменты с фиксированным строем — фортепиано, гитара — окончательно «проголосовали» за равномерную темперацию: только она позволяет играть в любой тональности на одном инструменте.

В этом и состоит гениальность равномерной темперации: она сознательно расстраивает каждый интервал ровно настолько, чтобы он стал одинаково терпимым для уха во всех 24 тональностях. Это осознанный компромисс между чистой математикой (идеальные отношения 3:2 и 5:4) и практическим удобством: «почти чисто в любой тональности» вместо «идеально в одной и фальшиво в остальных». Цену этого компромисса задаёт множитель 2^1/12 ≈ 1,0595 — чуть-чуть «неточная», но одинаково терпимая везде квинта.

Отсюда же — знаменитый квинтовый круг. В равномерной темперации квинта — это ровно 7 полутонов из 12: её отношение 2^7/12 ≈ 1,4983, почти неотличимое от чистой квинты 1,5 (разница около 2 центов — её практически не слышно). А 12 таких квинт в точности равны 7 октавам, поэтому круг замыкается: шагая по квинтам от до (до → соль → ре → ля → ми → си → фа-диез → …), через 12 шагов вы вернётесь к до — правда, записанному как си-диез. Квинтовый круг показывает, как связаны все 12 тональностей и почему их ровно столько.

И ещё важное уточнение: 12 — это не закон природы, а выбор европейской традиции, ставший мировым стандартом. В других культурах октаву делили иначе: в индийской музыке — 22 шрути, в арабской — используются четверти тона. Делить октаву можно на 19, 31 или даже 53 части — такие строи точнее передают чистые интервалы, но инструменты и запись становятся сложнее. Двенадцать — это разумная золотая середина: квинта почти идеальна, все тональности равноправны, а клавиатура остаётся обозримой.

Энгармонизм: два названия — один звук

Самый заметный побочный эффект 12-звуковой равномерной темперации — энгармонизм: один и тот же звук можно записать разными нотами. До-диез и ре-бемоль на фортепиано — это одна и та же чёрная клавиша между до и ре: частота одна (277,18 Гц), звук один, а обозначений два. То же самое с фа-диезом и соль-бемолем, с ми и фа-бемолем, с си и до-бемолем: каждый из 12 звуков октавы имеет как минимум два названия.

Зачем музыке два названия для одного звука? Потому что обозначение зависит от роли звука в тональности. В гамме ре мажор (ре, ми, фа-диез, соль, ля, си, до-диез) нота между до и ре — это седьмая ступень, и записывают её как до-диез. Ре-бемоль в этой гамме был бы чужаком: он намекал бы на пониженную вторую ступень, которой в ре мажоре нет. Нотная запись стремится показать логику музыки: одна и та же клавиша может оказаться и до-диезом, и ре-бемолем — в зависимости от контекста.

Это удобно и при чтении нот с листа: увидев до-диез в тональности с диезами, вы сразу понимаете, что перед вами повышенная ступень, и не спотыкаетесь о случайные бемоли. Поэтому энгармонизм — не каприз теоретиков, а рабочий инструмент записи: он делает музыку понятнее.

И небольшая оговорка: точное равенство до-диеза и ре-бемоля — свойство именно равномерной темперации и инструментов с фиксированным строем. Скрипач, у которого высоту звука можно подстраивать пальцем, может сыграть до-диез чуть выше, чем ре-бемоль, подгоняя звук под гармонию момента. А на фортепиано и гитаре это одна клавиша, один лад, один звук.

Геометрическая прогрессия в музыке

Двенадцать шагов по полутонам — это геометрическая прогрессия: каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число — множитель 2^1/12 ≈ 1,0595. В арифметической прогрессии шаг — постоянная разность (1, 2, 3, 4…), в геометрической — постоянный множитель (1, 2, 4, 8…). Частоты полутонов растут именно так: 440 → 466,16 → 493,88 → 523,25 — каждый раз умножение на одно и то же число.

И это не абстрактная математика, а её реальное применение в музыке: по этой формуле рассчитана каждая клавиша фортепиано, каждый лад гитары, каждый пресет синтезатора. Слушая любую мелодию, вы слышите геометрическую прогрессию — она звучит в каждом переходе на полутон.

Любопытный факт: та же математика в анимациях

Как бонус — несколько фактов из мира анимаций, где работает та же математика. В анимации вместо линейного хода времени используют функцию роста: движение из точки А в точку Б задаётся не равномерно, а по формуле — так рождаются плавные интерфейсы, CSS-переходы и движение камеры в кино. Такие функции называют easing. Разная функция времени f(t) даёт разное ощущение движения: плавный разгон, мягкую остановку, пружинистый отскок или затухающие колебания. А экспоненциальное easing — это буквально степень двойки, как и наш множитель 2^1/12: геометрическая прогрессия из музыки всплывает в анимациях почти в неизменном виде. График положения — это путь, его производная — скорость, вторая производная — ускорение.

Ниже — те самые примеры: нота движется по дорожке слева направо, а закон движения задаёт формула из подписи. Каждая дорожка запускается отдельно своей кнопкой: один цикл длится около 1,8 секунды и останавливается в конечной точке; повторный клик запускает её заново.

Коротко

Современный строй — равномерная темперация: октава делится на 12 равных полутонов.
Каждый полутон умножает частоту на одно и то же число 2^1/12 ≈ 1,0595; 12 таких шагов дают ровно удвоение — октаву.
Выравниваются интервалы (отношения частот), а не герцы: шкала высоты логарифмическая, поэтому в герцах полутоны наверху шире, чем внизу.
В октаве 7 основных ступеней (до–си) и 5 производных (диезы и бемоли — это альтерация основных ступеней, а не новые ноты): всего 12 звуков.
Выгода: любую музыку можно играть в любой тональности без перенастройки; квинтовый круг замыкается.
Энгармонизм: до-диез и ре-бемоль — один и тот же звук с разными названиями, выбор названия показывает роль звука в тональности.

Продолжить знакомство с нотами и закрепить теорию на практике можно в основной статье «Как выучить ноты с нуля» — а затем в тренажёре чтения нот notkee.ru.